動的な世界へようこそ ベクトル値関数過去の定常的な方程式とは異なり、ベクトル関数は移動する点の空間内での軌道を記述できる。虚空を旅する粒子を想像してみてください。時刻 $t$ におけるその位置は、原点に固定されたベクトルによって定義され、3次元空間内のその場所を指しています。
空間曲線の定義
実数パラメータ $t$ を3つの独立した成分関数にマッピングすることで、 空間曲線 $C$ を定義します。
空間内のすべての点 $(x, y, z)$ の集合 $C$ で、 $$x = f(t) \quad y = g(t) \quad z = h(t)$$ かつ $t$ が区間 $I$ 内で変化するとき、これを 空間曲線と呼びます。
あるいは、ベクトル記法を使用します： $$\mathbf{r}(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle = f(t)\mathbf{i} + g(t)\mathbf{j} + h(t)\mathbf{k}$$ ここで、$\mathbf{r}(t)$ は時刻 $t$ における移動粒子の 位置ベクトル 位置ベクトルです。
主要な幾何的形状
- ヘリックス： 円筒（通常 $x^2 + y^2 = a^2$）の周りに上昇する螺旋状の曲線です。これはばねやDNA二重螺旋の基本的な幾何学的構造です。
- ねじれた立方体： 2つの円筒 $y = x^2$ と $z = x^3$ の交線として可視化される古典的な非平面曲線です。3次元空間のすべての方向に歪んでいます。
実際の応用例
$\mathbf{r}(t) = \langle 1 + t, 2 + 5t, -1 + 6t \rangle$ で定義される曲線を説明してください。
分析： これは直線のパラメトリック方程式です。点 $(1, 2, -1)$ を通り、方向ベクトル $\mathbf{v} = \langle 1, 5, 6 \rangle$ に沿って進みます。
$\mathbf{r}(t) = \cos t \mathbf{i} + \sin t \mathbf{j} + t \mathbf{k}$ の曲線を描いてください。
分析： 成分 $x = \cos t$ と $y = \sin t$ は $x^2 + y^2 = 1$ を満たすため、曲線は円形の円筒上にあります。$t$ が増加すると、$z=t$ により点が上方に引き寄せられ、螺旋を形成します。
$\mathbf{r}(t) = \langle t, t^2, t^3 \rangle$ をコンピュータで可視化する。
分析： この曲線は、放物面 $y = x^2$ と三次面 $z = x^3$ の交線であるため「ねじれ」ています。これは同一平面上に存在しない曲線の標準的な例です。